PROGRAMA: Álgebra y Geometría Analítica
JEFE DE CÁTEDRA: Ing. Claudio Berasategui
ESPECIALIDAD:
Ing. Civil
Ing. Eléctrica
Ing. Metalúrgica
Ing. Mecánica
Ing. Electrónica
Ing. Química
Ing. Industrial
Ing. en Sistemas de Información.
MODALIDAD:
- Anual
- Cuatrimestral
PROGRAMA ► Ver PDF
Objetivos de la materia
- Desarrollar capacidad de abstracción, generalización y particularización, fortaleciendo el pensamiento deductivo e inductivo mediante el uso y aplicación de espacios vectoriales y transformaciones lineales.
- Aplicar modelos lineales (matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, autovalores y autovectores) para resolver situaciones problemáticas, analizándolas mediante argumentos teóricos, empleando técnicas, procesos analíticos y representaciones gráficas.
- Resolver problemas de aplicación modelizados matemáticamente con la utilización de vectores y matrices, interpretando los resultados obtenidos en el contexto de la situación, identificando sus elementos, usando distintas representaciones semióticas y comunicándolos mediante lenguaje matemático apropiado.
- Resolver problemas de aplicación utilizando elementos de Geometría Analítica (rectas, planos y formas cuadráticas), interpretando los resultados obtenidos en el contexto de la situación, identificando sus elementos y comunicándolos mediante lenguaje geométrico y algebraico.
- Utilizar software de lenguaje simbólico (sistemas de ecuaciones, matrices, transformaciones lineales, entre otros) y gráfico (vectores, rectas, planos, formas cuadráticas, entre otros) para la resolución de situaciones problemáticas.
Evaluación
> Modalidad Cuatrimestral
Parciales Prácticos: Se efectuarán 2 (dos) Evaluaciones parciales prácticas obligatorias individuales. Se aprobarán con nota igual o superior a 6 (seis) puntos. Se podrá recuperar 1 (uno) de los parciales, ya sea por nota menor a 6 (seis) o por ausentismo, debiendo resolver un grupo de ejercicios de carácter práctico y de aplicación a la Ingeniería.
Cuestionarios por unidad: Se realizarán 10 cuestionarios, uno por cada unidad, constando de 5 preguntas en el sistema opción múltiple, a través de la UV.
Parciales teóricos: Se efectuarán 2 (dos) Evaluaciones parciales teóricos no obligatorias individuales. Se aprobará con nota igual o superior a 6 (seis) puntos. Se podrá recuperar 1 (uno) de los parciales, ya sea por nota menor a 6 (seis) o por ausentismo, debiendo responder un grupo de preguntas teóricas y de aplicación a la Ingeniería.
> Modalidad Anual
Parciales Prácticos: Se efectuarán 3 (tres) Evaluaciones parciales prácticas obligatorios individuales. Se aprobarán con nota igual o superior a 6 (seis) puntos. Se podrá recuperar 1 (uno) de los parciales, ya sea, por nota menor a 6 (seis) o por ausentismo, debiendo resolver un grupo de ejercicios de carácter práctico y de aplicación a la Ingeniería.
Cuestionarios por unidad: Se realizarán 10 cuestionarios, uno por cada unidad, constando de 5 preguntas en el sistema opción múltiple, a través de la UV.
Parciales teóricos: Se efectuarán 3 (tres) Evaluaciones parciales teóricas no obligatorias individuales. Se aprobarán con nota igual o superior a 6 (seis) puntos. Se podrá recuperar 1 (uno) de los parciales, ya sea por nota menor a 6 (seis) o por ausentismo, debiendo responder un grupo de preguntas teóricas y de aplicación a la Ingeniería. Tendrá una duración de 1 (una) hora.
Condiciones de la materia
Abandono: en el caso que el/la estudiante no rindiera ninguno de los parciales prácticos mencionados en el punto anterior, el docente responsable deberá cargar esta condición en el sistema académico, quedando el estudiante en dicha situación.
Libre: si el/la estudiante aprobara sólo 1 (uno) de los parciales prácticos, el docente responsable deberá cargar esta condición en el sistema académico, quedando el estudiante en dicha situación.
Regular/Promoción Práctica: en el caso que el/la estudiante apruebe los 2 (dos) parciales prácticos en el régimen semestral y los 3 (tres) parciales prácticos en el régimen anual con nota no inferior a 6 (seis) puntos, incluyendo la instancia recuperatoria.
Aprobación Directa: en el caso que el/la estudiante logre la promoción práctica, apruebe todos los cuestionarios por unidad, y, además, los 2 (dos) parciales teóricos en el régimen semestral y los 3 (tres) parciales teóricos en el régimen anual con notas no inferior a 6 (seis) puntos, incluyendo la instancia recuperatoria.
Evaluación final
Estudiantes regulares/promoción práctica: el examen final de la asignatura estará constituido en 2 partes:
Una primera, a las 8:15hs, formada por diversas preguntas tipo opción múltiple, vía zoom en la UV de la Facultad.
De aprobar la primera, una segunda, a las 16hs, teórico-práctica, presencial, en la Facultad, oral, con un tribunal a designar por la Cátedra.
El ID del zoom, será informado a través de la UV de la Facultad en la AV AGA finales, donde los/las estudiantes inscriptos/as serán matriculados el día anterior al examen.
PROGRAMA ANALÍTICO
UNIDAD N°1: Sistemas de coordenadas. Vectores libres en R2, R3 y Rn
Sistemas de coordenadas sobre una recta, en el plano y en el espacio. Coordenadas cartesianas.
Vectores libres. Definición. Operaciones de “suma” y “multiplicación por un escalar”. Propiedades.
Paralelismo de vectores libres. Expresión cartesiana de un vector.
Vectores unitarios. Descomposición de un vector en dos direcciones perpendiculares.
Combinación lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores.
UNIDAD N°2: Matrices
Matriz, definición, clasificación.
Operaciones de suma de matrices y producto de una matriz por un escalar, propiedades.
Multiplicación de matrices, definición, propiedades.
Operaciones elementales de filas y equivalencias por filas de matrices.
Matriz escalón reducida por filas. Rango de una matriz.
Matrices elementales. Condición de equivalencia de matrices.
Inversibilidad de matrices, definición.
Caracterización de matrices inversibles. Cálculo de la inversa. Método de la matriz reducida por fila. Inversibilidad de productos y de matices elementales. Propiedades.
UNIDAD N°3: Determinantes
Definición, propiedades.
Cálculo de determinante. Regla de Sarrus. Desarrollo por cofactores. Método de triangulación.
Aplicación del determinante a la caracterización de irreversibilidad de una matriz y al cálculo de la matriz inversa. Método de la matriz adjunta.
UNIDAD N°4: Sistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones lineales. Notación matricial de un sistema.
Equivalencia de sistemas. Sistemas homogéneos y no homogéneos.
Teorema de Rouche Frobenius.
Métodos de resolución: Gauss, Gauss-Jordan, de la matriz inversa.
Método de Cramer
UNIDAD N°5: Espacios Vectoriales
Espacios vectoriales y subespacios, definiciones, ejemplos, propiedades.
Definiciones y teoremas de caracterización. Generación de un Espacio Vectorial.
Dependencia e independencia lineal de vectores.
Bases y dimensión de un Espacio Vectorial. Definiciones. Ejemplos. Teoremas.
Cambio de bases. Matriz de cambio de bases.
UNIDAD N°6: Aplicaciones o transformaciones lineales
Definición. Propiedades. Aplicación lineal matricial.
Imagen y núcleo de una aplicación lineal. Definición. Propiedades. Teoremas de las dimensiones.
Matriz estándar ( n→ m). Operadores lineales en el plano 2→ 2.
“Composición” de las aplicaciones lineales. Matrices de las transformaciones lineales. Representación de aplicaciones lineales por matrices. Base canónica y otras bases.
Semejanza y/o similaridad.
UNIDAD N° 7: Valores y vectores propios
Definiciones de “valor propio”, “vector propio” y “subespacio propio”
Caracterización de los valores propios. Ecuación y polinomio característico.
Determinación de los subespacios propios. Propiedades de los valores y vectores propios.
Operadores diagonalizables.
UNIDAD N°8: Operaciones con vectores libres en R2, R3 y Rn
Producto escalar canónico en 2, 3 y n Definición y propiedades.
Aplicaciones del producto: Longitud de un vector. Ángulo entre vectores.
“Producto vectorial” y “Producto mixto” de vectores en 3. Definición. Propiedades. Aplicaciones.
UNIDAD N°9: Rectas y planos
Ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas de la recta en 2 y 3.
Ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas del plano en 3.
Posiciones relativas entre dos rectas, dos planos, una recta y un plano.
Problemas de paralelismo e intersección. Problemas de distancia. Ecuación normal de la recta y el plano. Ángulo entre dos rectas, ángulo entre rectas y planos. Ángulos entre planos.
Haz de rectas. Haz de planos.
UNIDAD N°10: Cónicas y Cuádricas
Circunferencia, definición, ecuación canónica, ordinaria y general.
Parábola, definición, ecuación canónica, foco, directriz, ecuación ordinaria y general.
Elipse, definición, ecuación canónica, focos, excentricidad, ecuación ordinaria y general.
Hipérbola, definición, ecuación canónica, focos, excentricidad, asíntotas, ecuación ordinaria y general.
Cuádricas: elipsoide, hiperboloide, paraboloide, etc. Ecuaciones. Gráficos
UNIDAD N°11: Números Complejos
Operaciones. Suma. Resta. Producto. Cociente.
Formas binómicas
BIBLIOGRAFÍA
“Introducción al Álgebra Lineal”. H. Antón,
“Álgebra Lineal con aplicaciones”. Stanley Grossman,
“Álgebra Lineal”. S. Lipschutz,
“Álgebra Lineal con aplicaciones”. G. Nakos y D. Joyner,
“Geometría Analítica”. C. Lehmann
“Geometría Analítica del Plano y del Espacio y Nomografía”. D. Di Pietro.
“Nociones de Geometría y Álgebra Lineal”. Kosak, Pastorelli, Vardanega. Editorial Mc Graw Hill
“Álgebra y Geometría. Teoría, Práctica y Aplicaciones”. S. Gigena, F Molina y otros. Editorial Universitaria
Álgebra y Geometría Analítica”. A.E. Venturini
Apunte de la Cátedra. Ing Claudio Berasategui
